\section{Teoria de escala de tamanho finito \label{sec:escala} }
 
A teoria de transições de fase e fenômenos críticos apresentada na Seção \ref{sec:transicao} parte da hipótese de o sistema encontrar-se no limite termodinâmico, onde o número $N$ de partículas e o volume $V$ do sistema vão a infinito, com uma densidade $N/V$ constante. Essa condição, entretanto, não é satisfeita para os sistemas estudados em experimentos, e muito menos em simulações computacionais. O efeito de tamanho finito nas propriedades críticas do sistema tem sido objeto de estudo teórico por muitos anos (veja \cite{cardy1996scaling}). Mais recentemente, devido ao progresso na preparação de filmes finos, essa questão começou a ser investigada experimentalmente. Veja, por exemplo, as referências \cite{jiang2009magnetization,johnson2009finite}.

As técnicas de Escala de Tamanho Finito (ETF) são particularmente importantes no trabalho numérico sendo hoje um dos procedimentos mais eficazes para a determinação de quantidades críticas. Aqui, é apresentado, de forma resumida, as principais idéias por trás da ETF e as diversas relações que são utilizadas em estudos numéricos para determinar as quantidades críticas.

O ponto de partida da ETF é estudar o comportamento crítico do sistema no limite termodinâmico a partir da dependência da parte singular da energia livre com o tamanho finito do mesmo. Para tal, sup\~oe-se a homogeneidade do sistema e usa-se o tamanho linear $L$ e a temperatura reduzida $t$ como variáveis, encontrando a seguinte relação de escala de tamanho finito nas vizinhanças do ponto crítico estacionário $T_c$ 
\begin{equation} 
F(L,T)=L^{-(2-\alpha)/\nu}\mathcal{F}(t L^{1/\nu})~, 
\end{equation} 
onde $t= (T-T_c)/T_c$. 
Partindo da energia livre obtêm-se para a transição de segunda ordem propriedades termodinâmicas que seguem as leis de escalas   
\begin{subequations}\label{expoente} 
\begin{align} M &=L^{-\beta/\nu}\mathcal{M}^0(t L^{1/\nu})\label{expsecond},~\text{magnetização},\\ 
\chi &=L^{-\gamma/\nu}\chi^0(t L^{1/\nu}) \label{expthird},~\text{susceptibilidade},\\ 
C&=L^{-\alpha/\nu}\mathcal{C}^0(t L^{1/\nu}) \label{expfourth},~\text{calor específico}, 
\end{align} 
\end{subequations} 
em que  $\mathcal{M}^0(x)$, $\mathcal{X}^0(x)$ e $\mathcal{C}^0(x)$ são  funções escalares e $\alpha$, $\beta $, $\gamma$, $\nu$ são os expoentes críticos do calor específico, da magnetização, da susceptibilidade e comprimento de correlação, respectivamente. Exatamente na transição todas as propriedades termodinâmicas exibem um comportamento seguindo uma lei de potência, uma vez que as funções escalares se reduzem a constantes, e portanto  
\begin{subequations}\label{grp} 
\begin{align} 
M & \propto L^{-\beta/\nu}\label{second}~,\\ 
\chi & \propto L^{-\gamma/\nu}\label{third}~,\\ 
C & \propto L^{-\alpha/\nu}\label{fourth}~. 
\end{align} 
\end{subequations} 

Além destas quantidades, que são basicamente momentos de primeira ou segunda ordem da distribuição de probabilidade do parâmetro de ordem ou da energia, informações adicionas importantes podem ser obtidas examinando momentos de ordens mais altas da correspondente distribuição de probabilidade. Isto pode ser feito efetivamente considerando o cumulante reduzido de quarta ordem \cite{binder1981finite}. Para um modelo de Ising a campo nulo, para o qual todos os momentos de ordem ímpar desaparecem por simetria, o cumulante de quarta ordem é dado por  
\begin{equation} 
U_4 = 1- \frac{<M^4>}{3<M^2>^2}~. 
\label{eq:cumu} 
\end{equation} 
 
Quando o tamanho do sistema tende a infinito, $L \rightarrow \infty $, implica  $U_4 \rightarrow 0$ quando $T > T_C$, e $U_4 \rightarrow  2/3$ quando $T < T_C$. Para redes de tamanho suficientemente grandes, as curvas de $U_4(T)$ se cruzam num ponto fixo $U_4^*$ e o local do cruzamento é o ponto crítico. % (Figura \ref{fig:cumu}).
  Consequentemente, fazendo os gráficos para diferentes tamanhos de redes, partindo do ponto de cruzamento das curvas, pode-se fazer uma identificação preliminar da classe de universalidade do valor de $U_4^*$ e se obter uma estimativa para $T_C$. Se os tamanhos usados forem muito pequenos, haverá limitações estatísticas,  impedindo que todas as curvas se interceptem num ponto comum, devendo haver neste caso uma variação sistemática que crescerá com tamanho da rede para uma interseção comum.  
%\begin{figure}[h] 
%              \begin{center} 
%                   \includegraphics[height=7cm, width=10cm]{figuras/cap2/cumu.jpg} 
%              \end{center} 
%  \caption{Gráfico do cumulante de binder para o modelo de Ising numa rede cúbica  próximo a temperatura crítica para diferentes valores de tamanho de rede $L$ obtido com simulação Monte Carlo e técnica do histograma.}  
%  \label{fig:cumu}  
%\end{figure} 
% 
Outra técnica que pode ser usada para determinar a temperatura de transição com boa precisão consiste em localizar os pontos de máximos em quantidades termodinâmicas divergentes como: o calor específico e a susceptibilidade magnética. O local do cume define uma temperatura de transição $T_C(L)$ de rede finita, a qual varia com o tamanho do sistema de acordo com
\begin{equation} 
T_C(L)= T_C + qL^{-1/\nu}~, 
\label{eq:tcl}  
\end{equation} 
em que $q$ é um constante, e o expoente é o mesmo para qualquer formulação de $T_c(L)$, mas com diferentes coeficientes $q$, visto que  cada quantidade termodinâmica tem sua própria função de escala. Os cumes de funções termodinâmicas diferentes acontecem a temperaturas distintas para sistemas finitos, alguns com valores de $q$ positivo e outros com valores de $q$ negativo. Usando a Equação \eqref{eq:tcl} pode-se determinar o local da transição de uma rede infinita, para isso é necessário ter uma estimativa precisa de $\nu$ e valores precisos de $T_c(L)$. No caso de $\nu$ não ser conhecido, o ajuste não-linear usando a Equação (\ref{eq:tcl}) possui $3$ parâmetros ajustáveis, consequentemente uma resposta segura só é obtida se dados com boa precisão estatística forem usados e se forem avaliadas várias quantidades termodinâmicas simultaneamente.  É notoriamente difícil determinar $\nu$ de uma simulação $MC$ devido à falta de quantidades que provêem uma medida direta. Por isso é útil examinar o cumulante de quarta ordem da magnetização \cite{binder1981finite}. Na região de escala de tamanho finito, a derivada de $U _4$ em relação \`a temperatura, por exemplo, varia com $L$ segundo a Equação
\begin{equation} 
U_4^\prime=L^{1/\nu}\frac{U^0(\epsilon L^{1/\nu})}{T_c}~, 
\label{eq:cum} 
\end{equation}  
que permite estimar o expoente crítico $\nu$ de forma direta, diminuindo com isso sua incerteza. No entanto, a equação acima não é a única que permite a determinação de $\nu$ diretamente. Outras quantidades serão apresentadas nos próximos capítulos quando do estudo do modelo XY.
 
 
Utilizando as relações apresentadas nesta seção pode-se obter os expoentes críticos $\nu$, $\beta$, $\gamma$ e $\alpha$, bem como a temperatura crítica do sistema $T_c$, partindo de uma simulação Monte Carlo em sistemas com valor de $L$ suficientemente grandes. Contudo, para sistemas pequenos pode ser ainda necessário acrescentar termos de correções de escala. As relações assumem então as seguintes formas 
\begin{subequations}\label{grp} 
\begin{align} 
M & = M_0L^{-\beta/\nu}(1+b_M L^{-\omega})\label{second}~,\\ 
\chi & = \chi_0 L^{-\gamma/\nu}(1+b_\chi L^{-\omega})\label{third}~,\\ 
C & = C_0 L^{-\alpha/\nu}(1+b_C L^{-\omega})\label{fourth}~,\\
T_C(L)& = T_C + qL^{-1/\nu} (1+b_T L^{-\omega})~, 
\end{align} 
\end{subequations} 
onde $ b_M$, $ b_\chi$, $b_C$ e $ b_T$ são constantes não universais e $\omega$ o expoente de correção de escala.

Por outro lado, como visto na seção \ref{sec:transicao}, um ponto marcante da teoria BKT é que ela prevê uma singularidade essencial, um crescimento exponencial do comprimento de correlação e de outras grandezas termodinâmicas perto da transição, em contraste com o comportamento de lei de potência em uma transição de segunda ordem, como discutido acima. No entanto, esse comportamento, durante muito tempo, não pôde ser confirmado através de simulação Monte Carlo.  Isso se deve a grande dependência da transição BKT com o tamanho do sistema. Só a partir da década de 1990,  simulações de Monte Carlo permitiram um esclarecimento do comportamento BKT \cite{schultka1994finite,PhysRevB.48.7419,kim1996phase,PhysRevB.55.3580,chung1999essential}. Na última decada, varios trabalhos foram publicados buscando compreender os efeitos do tamanho finito no modelo XY \cite{lepri2001finite,zhang2006finite,PhysRevE.66.026108}. Um exemplo típico é a obra de Hasenbusch \cite{hasenbusch2005two}, onde o modelo XY foi estudado em redes de tamanho até $L=2024$. 

Embora o modelo XY em duas dimensões não apresente quebra espontânea de simetria a função de correlação entre os spins do plano decai lentamente a baixa temperatura como foi apresentado na Seção \ref{sec:transicao}. Este lento decaimento com a distância provoca o aparecimento de magnetização espontânea em um sistema finito \cite{archambault2009universal,PhysRevB.49.8811,bramwell1993magnetization}. A análise de ondas de spin, em um sistema com $N$ spin e a baixa temperatura, dá uma magnetização $M$ \cite {PhysRevB.20.3761} 
\begin{equation}
M_{xy}=(\frac{1}{2N})^{T/8\pi}~.
\label{mag}
\end{equation}
Esta magnetização apresenta uma transição em uma temperatura efetiva $Tc(L)$ com um aparente expoente crítico universal $\beta=0.23$, que também é observado experimentalmente em diferentes materiais magnéticos que se assemelham ao modelo XY \cite{chattopadhyay1992antiferromagnetic, bramwell1986neutron, hirakawa1973investigations}.
%como consta na Tabela\ref{}

Esta temperatura efetiva segue uma lei de escala dada pela relação \cite{sun2010berezinskii,chung1999essential,bramwell1993magnetization} 

\begin{equation}
T(L) \approx T_{BKT}  + \frac{{\pi ^2 }}
{{4c(\ln L)^2 }}.
\label{eq:escalabkt}
\end{equation}

As dificuldades encontradas nas simulações de Monte Carlo do modelo XY 2D podem ser explicadas pelas correções logarítmicas que estão previstas nas vizinhanças da transição BKT. A susceptibilidade magnética, por exemplo, para sistemas de tamanho linear $L$ finitos comporta-se na temperatura BKT de acordo com a equação
%
\begin{equation}
\chi=c~L^{2-\eta}(ln(L))^{-2r}\lbrace 1+ \Theta(\frac{ln ln L}{ln L})\rbrace,
\label{schiL}
\end{equation}
%
onde $\eta$ corresponde o expoente da função de correlação e na temperatura de transição os valores teóricos dos expoentes são $\eta(T_{BKT})=1/4$ e $r= -1/6$ \cite{ PhysRevB.16.1217,kosterlitz1974critical}. 

Utilizando simulação Monte Carlo e a Equação (\ref{schiL}) ainda não foi possível comprovar o expoente $r= -1/6$, mas percebeu-se que ele aumenta com o tamanho de $L_{min}$ mínimo utilizado na simulação. Para $L_{min}=512$ foi encontrado $r= -0,0406$ \cite{hasenbusch2005two}. Recentemente Hasenbusch e colaboradores realizando uma simulação numérica de alta precisão utilizando o ansatz  
\begin{equation}
\chi  = \chi _0 L^{2 - \eta } (C + \ln L)^{ - 2r} ...  ~~,
\label{schiL}
\end{equation}
encontraram $r=-0,56(7)$ que é comparável a predição analítica. 


